学習された創発空間での創発偏微分方程式の学習

Dec 20, 2023

Nature Communications volume 13、記事番号: 3318 (2022) この記事を引用

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我々は、相互作用するエージェントの大規模システムの効果的な進化方程式を学習するアプローチを提案します。これは、よく研究された結合正規形振動子のシステムと、生物学的に動機付けられた結合ホジキン・ハクスリー様ニューロンの例という 2 つの例で実証されています。このようなタイプのシステムの場合、偏微分方程式の形で効果的な進化の法則を学習するための明確な空間座標は存在しません。私たちのアプローチでは、最初のステップとして多様体学習を使用してシステムの時系列データから埋め込み座標を学習することでこれを実現します。これらの創発座標では、ニューラルネットワークを使用して、発振器アンサンブルのダイナミクスを再現するだけでなく、システムパラメーターが変化するときの集合的な分岐も捕捉する効果的な偏微分方程式を学習する方法を示します。したがって、提案されたアプローチは、エージェントのダイナミクスをパラメータ化する緊急空間座標の自動データ駆動抽出と、このパラメータ化におけるダイナミクスの緊急 PDE 記述の機械学習支援識別を統合します。

相互作用するエージェントの大規模システムの動的挙動をモデル化することは、複雑なシステム解析において依然として困難な問題です。このようなシステムの状態空間次元は大きいため、エージェントアンサンブルの粗粒度のダイナミクスを集合的に記述するための有用な低次数モデルを構築することが、歴史的に継続的な研究目標となってきました。このような粗粒な集合的記述は、相互作用する粒子を温度、圧力、密度によって巨視的レベルで効果的に記述することができる熱力学など、多くの文脈で生じます。あるいは、ボルツマン方程式の衝突がナビエ・ストークス方程式などの連続体記述につながる動力学理論だけでなく、走化性や粒状流などの文脈でも同様です。この粗視化における重要な問題の 1 つは、物理空間における集団行動の進化を記述する粗視化の観測値 (密度場、運動量場、濃度場、空隙率場) を見つけることです。巨視的で有効なモデルは、多くの場合、これらの場の偏微分方程式 (PDE) として近似されます。その時間導関数は、各点における場の局所的な空間導関数によって局所的に表現されます。予測モデルを導出するために必要なクロージャは、数学的に (適切な仮定を使用して)、および/または実験または計算による観察を通じて半経験的に取得できます。

相互作用するエージェントが結合振動子システムである場合、観測される低次元ダイナミクスは、いわゆる次数パラメーターの観点から、いくつかの常微分方程式 (ODE) の集中システムとして記述できることがあります 1、2、3。相互作用する発振器の大規模な異種システムでは、常に発振器の状態の分布が観察されます。適切な順序パラメータに対する少数の ODE によってこの展開を有効に記述できることは、概念的には、分布の少数のモーメント方程式の有限で閉じたセットを通じて分布の展開を記述することに相当します。ここでは、モデル ODE の閉セット (または確率微分方程式) を記述することができるいくつかの先行モーメントによって、いくつかの良好な順序パラメーターが提供されます。そして、場合によっては、そのような削減された記述が非常にうまくいく場合もありますが、少数の ODE では十分ではなく、瞬間的な発振器の動作の進化する場のための進化方程式 (例: PDE) を書く必要がある場合もあります( s）。

このとき、自然に疑問が生じます。この進化する行動分布の空間サポートをパラメータ化する良い方法は何でしょうか? 集団行動進化のための進化的偏微分方程式モデルを導出しようと試みる空間内で、少数の独立した空間変数はどれ (そしていくつ) でしょうか? 言い換えれば、問題が物理空間で展開しない場合（たとえば、発振器が相互作用するネットワーク内のノードである場合）、時空間場として展開する動作を観察できる有用な連続体埋め込み空間は存在するのでしょうか? もしそうなら、個々の結合エージェントのダイナミクスの集合の観察に基づいて、データ駆動型の方法でこの創発空間とそのパラメータ化された独立した座標をどのように検出できるのでしょうか? したがって、私たちのタスクには 2 つのコンポーネントがあり、どちらもここではデータ駆動型の方法で達成されます。(a) 振動子の挙動が滑らかな時空間展開として (埋め込まれ) 観察できる創発的な空間座標を見つけます。 (b) これらの創発座標が取得されたら、可能であればこの場を支配する偏微分方程式の形式で、進化するダイナミクスのモデルを学習します。つまり、創発的な独立変数における場のいくつかの局所空間微分に関して、場の (点ごとの) 時間導関数を近似します。

γH, a stable fixed point ensues, in which all individual amplitudes of the respective oscillators are zero, also called oscillator death35. We now collect data for training at several γ values, linearly spaced in the interval \(\left[1.7,1.8\right]\), on both sides of the Hopf bifurcation; the γ value was provided as additional input to the model. We again perturbed along the slow stable eigendirections of each attractor, see Methods, collecting transients that inform the model about nearby dynamics. We then learned a PDE of the form/p> γH (right inset). We observe the transient dynamics approaching the fixed point W = 0 ∀ ω for γ = 1.8./p> γH./p> γH ≈ 1.75, and to the limit cycle for γ < γH ≈ 1.75./p> γH to collective oscillations for γ < γH. More quantitatively, we reported the leading spectrum of the linearization of the model evaluated at the fixed point. This was obtained using automatic differentiation of the neural network model with respect to its inputs. Such computations can shed more light on the similarities and differences of agent-based simulations and their emergent PDE descriptions. In this paper, we focused on a particular regime in parameter space. However, our approach can easily be extended to more intricate dynamics that are known in such a Stuart-Landau ensemble; informative examples are included in the videos SI1 and SI2./p>